Giải bài 7 trang 67

Đề bài

Cho đường thẳng $Δ$ và điểm O sao cho khoảng cách từ O đến $Δ$ là OH = 1 (Hình 39). Với mỗi điểm M di động trong mặt phẳng, gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên $Δ$ . Chứng minh tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho $M K^{2} - M O^{2} = 1$ là một đường parabol.

Lời giải chi tiết

Chọn hệ trục toạ độ sao cho điểm O trùng với gốc toạ độ và trục Ox trùng với đường thẳng OH.

Giả sử M có toạ độ (x; y) thì K có toạ độ là (–1; y).

Khi đó:

$\begin{array}{l} M K^{2} - M O^{2} = 1 \\ \Rightarrow {(x + 1)}^{2} + {(y - y)}^{2} - {(0 - x)}^{2} - {(0 - y)}^{2} = 1 \\ \Rightarrow x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - y^{2} = 1 \Rightarrow y^{2} = 2 x \end{array}$

Vậy tập hợp các điểm M là parabol có phương trình $y^{2} = 2 x$