Giải bài 7 trang 74

Đề bài

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(-2; 4) và bán kính bằng 9.

b) Có tâm I(1; 2) và đi qua điểm A(4; 5).

c) Đi qua hai điểm A(4; 1), B(6; 5) và có tâm nằm trên đường thẳng 4x + y - 16 = 0.

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b.

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đường tròn là:

$\left(C_1\right):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=81$

b) $\overrightarrow{IA}=(3;3)\Rightarrow IA=3\sqrt{2}=R$.

Suy ra phương trình đường tròn là:

$C_2:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=18$.

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng 4x + y - 16 = 0 nên có tọa độ I(a; 16 - 4a).

$IA=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2}$,

$IB=\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2}$.

A, B thuộc đường tròn nên IA = IB

$\Rightarrow \sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2}$

$=\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2}$

$\Rightarrow {\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2$

$={\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(a-4\right)}^2+{\left(15-4a\right)}^2$

$={\left(a-6\right)}^2+{\left(11-4a\right)}^2$

$\Rightarrow -28a=-84\Rightarrow a=3$.

Suy ra tâm đường tròn là I(3; 4), bán kính $R=IA=\sqrt{10}$.

Phương trình đường tròn trên là:

$\left(C_3\right):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=10$.

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2mx-2ny+p=0$ (với tâm I(m; n), $R=\sqrt{m^2+n^2-p}$).

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện $a,b\ne 0$, vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

$\{\begin{array}{c}{0}^2+0^2-2m.0-2n.0+p=0\\ a^2+0^2-2ma-2n.0+p=0\\ 0^2+b^2-2m.0-2nb+p=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}p=0\\ a^2-2ma=0\\ b^2-2nb=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}p=0\\ m=\frac{a}{2}\\ n=\frac{b}{2}\end{array}$

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là $x^2+y^2-ax-by=0$.