Giải bài 7 trang 75

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) AD.BH=AC.BDAD.BH=AC.BDAD.BH = AC.BD.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) $A D . B H = A C . B D$ .

b) $H A . H D = H B . H E = H C . H F$ .

c) $B C^{2} = B E . B H + C F . C H$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (g.g) để tính: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC và tam giác BDH có:

$\hat{A D C} = \hat{B D H} = 90^{0}, \hat{D A C} = \hat{H B D}$ (cùng phụ với góc ECB). Do đó, $Δ A D C ∽ Δ B D H (g . g)$ , suy ra $\frac{A D}{B D} = \frac{A C}{B H}$ nên $A D . B H = A C . B D$

b) Tam giác HEA và tam giác HDB có:

$\hat{H E A} = \hat{H D B} = 90^{0}, \hat{A H E} = \hat{B H D}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $Δ H E A ∽ Δ H D B (g . g)$ , suy ra $\frac{H E}{H D} = \frac{H A}{H B}$ , do đó $H A . H D = H B . H E$

Tam giác HFA và tam giác HDC có:

$\hat{H F A} = \hat{H D C} = 90^{0}, \hat{F H A} = \hat{D H C}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $Δ H F A ∽ Δ H D C (g . g)$ , suy ra $\frac{H F}{H D} = \frac{H A}{H C}$ , do đó, $H A . H D = H F . H C$

Vậy $H A . H D = H B . H E = H C . H F$

c) Tam giác BCE và tam giác BHD có:

$\hat{B E C} = \hat{B D H} = 90^{0}, \hat{H B D} c h u n g$

Do đó, $Δ B C E ∽ Δ B H D (g . g)$ , suy ra $\frac{B C}{B H} = \frac{B E}{B D}$ hay $B C . B D = B E . B H$

Tam giác BCF và tam giác HCD có:

$\hat{B F C} = \hat{C D H} = 90^{0}, \hat{H C D} c h u n g$

Do đó, $Δ B C F ∽ Δ H C D (g . g)$ , suy ra $\frac{B C}{C H} = \frac{C F}{C D}$ hay $B C . C D = C F . C H$ .

Ta có: $B E . B H + C F . C H = B C . C D + B C . B D$

$= B C (B D + C D) = B C^{2}$