Giải bài 7 trang 76

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Kẻ $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$.

a) Chứng minh rằng $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$.

b) Kẻ $HN$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Chứng minh rằng $AM.AB=AN.AC$.

c) Chứng minh rằng $\Delta ANM\backsim \Delta ABC$.

d) Cho biết $AB=9cm,AC=12cm.$ Tính diện tích tam giác $AMN$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\Delta AMH$ và $\Delta AHB$ có:

$\widehat{HAM}$ chung (do $\widehat{HAM}$ cũng là $\widehat{HAB}$)

$\widehat{AMH}=\widehat{AHB}={90}^{\circ }$ (do $HM\perp AB$ và $AH$ là đường cao)

Do đó, $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$ (g.g).

b) Vì $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$ nên $\frac{AM}{AH}=\frac{AH}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra $AM.AB=A{H}^2$ (1)

- Xét $\Delta ANH$ và $\Delta AHC$ có:

$\widehat{HAN}$ chung (do $\widehat{HAN}$ cũng là $\widehat{HAC}$)

$\widehat{ANH}=\widehat{AHC}={90}^{\circ }$ (do $HN\perp AC$ và $AH$ là đường cao)

Do đó, $\Delta ANH\backsim \Delta AHC$ (g.g).

Vì $\Delta ANH\backsim \Delta AHC$ nên $\frac{AN}{AH}=\frac{AH}{AC}$ (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra $AN.AC=A{H}^2$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra, $AM.AB=AN.AC$(điều phải chứng minh).

c) Từ câu b ta có:

$AM.AB=AN.AC\Rightarrow \frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (tỉ lệ thức)

Xét $\Delta ANM$và $\Delta ABC$ ta có:

$\hat{A}$ chung

$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ANM\backsim \Delta ABC$(c.g.c)

d) Áp dụng định lí Py- ta – go cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+{12}^2=225\Rightarrow BC=15cm$

Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

$\Rightarrow AH.BC=AB.AC$

$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{9.12}{15}=7,2cm$.

Ta có: $A{H}^2=AM.AB$

hay $AM.9=7,2^2$

Suy ra: $AM=\frac{7,2^2}{9}=5,76cm$

$A{H}^2=AN.AC$

Hay $AN.12=7,2^2$

Suy ra $AN=\frac{7,2^2}{12}=4,32cm$.

Diện tích tam giác vuông $AMN$ là:

$S_{AMN}=\frac{1}{2}AM.AN=\frac{1}{2}.5,76.4,32=12,4416c{m}^2$.

Vậy diện tích tam giác $AMN$ là 12,4416cm².