Giải bài 7 trang 79

Đề bài

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính $\cot A, \cot B, \cot C$ bằng cách: Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin:

$\sin A = \frac{a}{2 R}$ ; $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

Lời giải chi tiết

Áp dụng hệ quả của định lí sin và định lí cosin, ta có:

$\frac{a}{\sin A} = 2 R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{2 R}$

và $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ .

$\Rightarrow \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} : \frac{a}{2 R} = R . \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{a b c}$ .

Tương tự ta có: $\cot B = R . \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{a b c}$ và $\cot C = R . \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{a b c}$ .

$\Rightarrow \cot A + \cot B + \cot C$

$= \frac{R}{a b c} [(b^{2} + c^{2} - a^{2}) + (a^{2} + c^{2} - b^{2}) + (a^{2} + b^{2} - c^{2})]$

$= \frac{R}{a b c} (2 b^{2} + 2 c^{2} + 2 a^{2} - a^{2} - c^{2} - b^{2}) = \frac{R (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}$