Giải bài 7 trang 8

Đề bài

Cho đa thức $G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23$ với $b$ là một số cho trước sao cho $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên. Chứng tỏ rằng: $G$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$.

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{c}G=\frac{1}{2}{x}^2+bx+23=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x+bx+23\\ =\left(\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x\right)+\left(\frac{1}{2}x+bx\right)+23\\ =\frac{x^2-x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23\\ =\frac{\left(x-1\right)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23\end{array}$

Do trong hai số nguyên liên tiếp luôn có một số chia hết cho 2 nên $\frac{\left(x-1\right)x}{2}$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$. Mà $\frac{1}{2}+b$ là số nguyên, suy ra $\frac{\left(x-1\right)x}{2}+\left(\frac{1}{2}+b\right)x+23$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$.

Vậy $G$ luôn nhận giá trị nguyên tại mọi số nguyên $x$.