Giải Bài 7 trang 84

Cho tam giác ABC vuông tại A

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác $\hat{B A C}$ (D ∈ BC). Gọi E là trung điểm của AC.

a) Chứng minh rằng DE = DB

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK.

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH $⊥$ KC.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh BD = DE thông qua việc chứng minh 2 tam giác BAD và EAD bằng nhau

b) Chứng minh $Δ$ CDK cân tại D do có 2 cạnh bên DK = DC

c) Chứng minh $Δ$ KAC vuông cân tại A và AD là phân giác nên cũng là đường cao của $Δ$ KAC $\Rightarrow$ AH $⊥$ KC

Lời giải chi tiết

a) Xét $Δ$ BAD và $Δ$ EAD có :

AD là cạnh chung

AB = AE = $\frac{1}{2}$ AC

$\hat{B A D} = \hat{E A D}$ (do AD là phân giác góc A)

$\Rightarrow Δ B A D = Δ E A D$ (c-g-c)

$\Rightarrow$ DE = DB (cạnh tương ứng) và $\hat{A B D} = \hat{A E D}$ (góc tương ứng)

b) Xét $Δ$ KAE và $Δ$ CAB có :

AE = AB

$\hat{A B D} = \hat{A E D}$ (chứng minh a)

Góc A chung

$\Rightarrow Δ K A E = Δ C A B$ (g-c-g)

$\Rightarrow$ KE = CB (cạnh tương ứng)

Mà KE = ED + DK và CB = BD + DC

$\Rightarrow$ KE – ED = CB – BD $\Rightarrow$ DK = DC

$\Rightarrow$ $Δ D C K$ cân tại D

+) Xét $Δ$ KDB và $Δ$ CDE có :

DB = DE

DK = DC

$\hat{K D B} = \hat{C D E}$ (2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow Δ K D B = Δ C D E$ (c-g-c)

$\Rightarrow$ KB = EC $\Rightarrow$ KB = AB (do cùng = EC) $\Rightarrow$ B là trung điểm AK

c) Vì $Δ K A E$ = $Δ C A B$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow$ AK = AC (cạnh tương ứng)

$\Rightarrow$ $Δ$ AKC vuông cân tại A

Mà AD là phân giác góc A nên AD sẽ vừa là phân giác vừa là đường cao của $Δ$ AKC

$\Rightarrow$ AD $⊥$ KC

$\Rightarrow$ AH $⊥$ KC (do H $i n$ AD)