Giải bài 7 trang 86

Đề bài

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) ( $t \geq 0$ ), vị trí của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức ${\begin{cases} x = 3 - 35 t \\ y = - 4 + 25 t \end{cases}$ ,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2})$ ta có:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = | \cos (\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}) | = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2}}}$ .

b) Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $a x + b y + c = 0 (a^{2} + b^{2} > 0)$ và điểm $M (x_{o}; y_{0})$ .

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ được tính bởi công thức: $d (M, Δ) = \frac{| a x_{o} + b y_{o} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Bước 2: Đánh giá theo tham số t.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $Δ$ có phương trình $a x + b y + c = 0 (a^{2} + b^{2} > 0)$ và điểm $M (x_{o}; y_{0})$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $Δ$ , kí hiệu là $d (M, Δ)$ được tính bởi công thức: $d (M, Δ) = \frac{| a x_{o} + b y_{o} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Tàu A di chuyển theo hướng vecto $\vec{u_{1}} = (- 35; 25)$ .

Tàu B di chuyển theo hướng vecto $\vec{u_{2}} = (- 30; - 40)$ .

Gọi $α$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:

$\cos α = | \cos (\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}) |$

$= \frac{| (- 35) . (- 30) + 25. (- 40) |}{\sqrt{{(- 35)}^{2} + 25^{2}} . \sqrt{{(- 30)}^{2} + {(- 40)}^{2}}} = \frac{1}{5 \sqrt{74}}$ .

b) Sau t giờ, vị trí của tàu A là điểm M có tọa độ là: $M (3 - 35 t; - 4 + 25 t)$ .

Sau t giờ, vị trí của tàu B là điểm N có tọa độ là: $N (4 - 30 t; 3 - 40 t)$ .

Do đó, $M N = \sqrt{{(1 + 5 t)}^{2} + {(7 - 65 t)}^{2}}$

$= \sqrt{4250 t^{2} - 900 t + 50}$

$= \sqrt{4250 {(t - \frac{9}{85})}^{2} + \frac{40}{17}} \geq \sqrt{\frac{40}{17}} \approx 1, 53$ $(k m)$ .

Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53 km khi $t = \frac{9}{85}$ .

Vậy sau $\frac{9}{85}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau 1,53 km.

c) Vị trí ban đầu của tàu A tại $M_{o}$ ứng với $t = 0$ , khi đó $M_{o} (3; - 4)$ .

Tàu B di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến $\vec{n} = (40; - 30)$ và đi qua điểm $K (4; 3)$ Phương trình tổng quát của $Δ$ là:

$40 (x - 4) - 30 (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 4 x - 3 y - 7 = 0$ .

$d (M_{o}, Δ) = \frac{| 4.3 - 3. (- 4) - 7 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}} = \frac{17}{5} = 3, 4$ $(k m)$ .

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu còn tàu B di chuyển thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km.