Giải bài 7 trang 87

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi. a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu. b) Biết 2 viên bi lấy ra ở hộp t

Đề bài

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Hộp thứ hai chứa 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp thứ nhất và bỏ vào hộp thứ hai, rồi từ hộp thứ hai chọn ra ngẫu nhiên 2 viên bi.

a) Tính xác suất của biến cố 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu.

b) Biết 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu, tính xác suất 3 viên bị lấy ra từ hộp thứ nhất cũng có cùng màu.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức tính xác suất toàn phần: $P (A) = P (B) . P (A | B) + P (\bar{B}) . P (A | \bar{B})$ .

‒ Sử dụng công thức Bayes: $P (B | A) = \frac{P (B) . P (A | B)}{P (A)}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $A$ là biến cố “2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu” và $B$ là biến cố “3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu”.

• TH1: Chọn từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để 3 viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có cùng màu là: $P (B) = \frac{C_{5}^{3}}{C_{6}^{3}} = \frac{1}{2}$ .

Khi đó hộp thứ hai có 3 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ.

Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: $\frac{C_{3}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{1}{7}$ .

Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: $\frac{C_{4}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{2}{7}$ .

Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 3 viên bi xanh là: $P (A | B) = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$ .

• TH2: Chọn từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ.

Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ nên xác suất để lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: $P (\bar{B}) = 1 - P (B) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Khi đó hộp thứ hai có 2 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ.

Xác suất để chọn ra 2 viên bi xanh từ hộp thứ hai là: $\frac{C_{2}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{1}{21}$ .

Xác suất để chọn ra 2 viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: $\frac{C_{5}^{2}}{C_{7}^{2}} = \frac{10}{21}$ .

Vậy xác xuất để 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu biết rằng lấy ra từ hộp thứ nhất 2 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ là: $P (A | \bar{B}) = \frac{1}{21} + \frac{10}{21} = \frac{11}{21}$ .

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất 2 viên bi ở hộp thứ hai lấy ra có cùng màu là:

$P (A) = P (B) . P (A | B) + P (\bar{B}) . P (A | \bar{B}) = \frac{1}{2} . \frac{3}{7} + \frac{1}{2} . \frac{11}{21} = \frac{10}{21} \approx 0, 476$ .

b) Theo công thức Bayes, xác suất 3 viên bi lấy ra ở hộp thứ nhất có cùng màu, biết rằng 2 viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có cùng màu là:

$P (B | A) = \frac{P (B) . P (A | B)}{P (A)} = \frac{\frac{1}{2} . \frac{3}{7}}{\frac{10}{21}} = 0, 45$ .