Giải bài 7 trang 93

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}; \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}; \vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ . Tính độ dài các vectơ $\vec{K A}, \vec{G H}, \vec{A G}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có $A C = A B \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

+) $\vec{K A} + \vec{K C} = \vec{0}$ ,

Suy ra K là trung điểm AC $\Rightarrow A K = \frac{1}{2} . a \sqrt{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

+) $\vec{H A} + \vec{H D} + \vec{H C} = \vec{0}$ , suy ra H là trọng tâm của tam giác ADC

$\Rightarrow D H = \frac{2}{3} D K = \frac{1}{3} D B$ (1)

+) $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B K = \frac{1}{3} B D$ (2)

$(1, 2) \Rightarrow H G = \frac{1}{3} B D = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Mà $K G = K H = \frac{1}{2} H G = \frac{a \sqrt{2}}{6}$ (2)

$\Rightarrow A G = \sqrt{A K^{2} + G K^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{6})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

$\Rightarrow | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$

Vậy $| \vec{K A} | = \frac{a \sqrt{2}}{2}, | \vec{G H} | = \frac{a \sqrt{2}}{3}, | \vec{A G} | = \frac{a \sqrt{5}}{3}$ .