Giải bài 7 trang 97 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 5cm. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng (24c{m^2}). Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Đề bài

Cho tam giác ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 5cm. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng $24 c m^{2}$ . Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tính BC.

+ Tính được $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ , $\frac{1}{2} . A B . A C$ nên tính được ${(A B + A C)}^{2}$ , từ đó tính được $A B + A C$ .

+ Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó, r là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, AIB. Do đó

$S_{A B C} = S_{B I C} + S_{C I A} + S_{A I B} = \frac{1}{2} B C . r . \frac{1}{2} C A . r + \frac{1}{2} A B . r = \frac{1}{2} (A B + A C + B C) . r$ , từ đó tính được r.

Lời giải chi tiết

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền của tam giác nên $B C = 2.5 = 10 (c m)$ .

Theo định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có: $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2} = 100 (c m^{2})$ .

Vì diện tích tam giác ABC bằng $24 c m^{2}$ nên:

$\frac{1}{2} . A B . A C = 24 (c m^{2})$ .

Từ đây suy ra

${(A B + A C)}^{2} = A B^{2} + 2 A B . A C + A C^{2} = 196$ hay $A B + A C = 14 c m$ .

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó, r là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, AIB. Do đó

$S_{A B C} = S_{B I C} + S_{C I A} + S_{A I B}$

$= \frac{1}{2} B C . r . \frac{1}{2} C A . r + \frac{1}{2} A B . r$

$= \frac{1}{2} (A B + A C + B C) . r$ .

Suy ra $24 = \frac{1}{2} (10 + 14) r$ , hay $r = 2 c m$ .