Giải bài 70 trang 70

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $Δ_{1} : \frac{x + 2}{9} = \frac{y - 1}{27} = \frac{z - 3}{- 27}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 3}{- 3} = \frac{z - 7}{3}$ ;

b) $Δ_{1} : \frac{x + 1}{- 2} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z + 3}{- 4}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 13}{7} = \frac{y + 9}{5} = \frac{z + 15}{8}$ ;

c) $Δ_{1} : \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 6}{3} = \frac{z + 3}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 17}{2} = \frac{y - 33}{- 3} = \frac{z + 16}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ với: $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}}$ và $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2}$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}}$ :

• $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ nếu ${\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] \neq \vec{0} \end{cases}$ .

• $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ nếu ${\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 0 \end{cases}$ .

• $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau nếu $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} \neq 0$ .

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (- 2; 1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (9; 27; - 27)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (- 1; 3; 7)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (- 1; - 3; 3)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (0; 0; 0) = \vec{0}, \vec{M_{1} M_{2}} = (1; 2; 4)$ .

$[\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] = (162; - 63; - 9) \neq \vec{0}$ . Vậy $Δ_{1} ∥ Δ_{2}$ .

b) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (- 1; 6; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (- 2; 5; - 4)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (- 13; - 9; - 15)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (7; 5; 8)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (60; - 12; - 45), \vec{M_{1} M_{2}} = (- 12; - 15; - 12)$ .

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 60. (- 12) - 12. (- 15) - 45. (- 12) = 0$ . Vậy $Δ_{1}$ cắt $Δ_{2}$ .

c) Đường thẳng $Δ_{1}$ đi qua điểm $M_{1} (- 3; - 6; - 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 3; 2)$ .

Đường thẳng $Δ_{2}$ đi qua điểm $M_{2} (- 17; 33; - 16)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (2; - 3; 2)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (12; 0; - 12), \vec{M_{1} M_{2}} = (- 14; 39; - 13)$ .

$[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M_{1} M_{2}} = 12. (- 14) + 0.39 - 12. (- 13) = - 12 \neq 0$ . Vậy $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ chéo nhau.