Giải bài 70 trang 85

Cho tam giác ABCABCABC có ba góc nhọn, các đường cao BDBDBD và CECECE cắt nhau tại HHH. Chứng minh:

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn, các đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$ . Chứng minh:

a) $Δ E B H ∽ Δ D C H, Δ A D E ∽ Δ A B C$ ;

b) $D B$ là tia phân giác của góc $E D I$ , với $I$ là giao điểm của $A H$ và $B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ gọi là đồng dạng với tam giác $A B C$ nếu:

$\hat{A^{'}} = \hat{A}, \hat{B^{'}} = \hat{B}, \hat{C^{'}} = \hat{C}$ ; $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ .

Kí hiệu là $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ .

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{C^{'} A^{'}}{C A} = k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Vì các tam giác $E B H$ và $D C H$ đều là các tam giác vuông và $\hat{E B H} = \hat{D H C}$ (hai góc đối đỉnh) nên $Δ E B H ∽ Δ D C H$ . Tương tự, ta có các tam giác $A B H$ và $A C E$ là các tam giác vuông và $\hat{B A D} = \hat{C A E}$ nên $Δ A B H ∽ Δ A C E$ . Suy ra $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A E}$ hay $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A E}$ . Mà $\hat{B A C} = \hat{D A E}$ suy ra $Δ A D E ∽ Δ A B C$ .

b) Do $Δ A D E ∽ Δ A B C$ nên $\hat{A D E} = \hat{C B A}$ (1). Tương tự cách chứng minh ở câu a, ta có $Δ C D I ∽ Δ C B A$ (2). Từ (1) và (2), ta có $\hat{A D E} = \hat{C D I}$ .

Do đó $90^{\circ} - \hat{A D E} = 90^{\circ} - \hat{C D I}$ hay $\hat{E D B} = \hat{B D I}$ . Vậy $D B$ là đường phân giác của góc $E D I$ .