Giải bài 72 trang 107

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, $\hat{B A C}$ = 60°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R

c) Diện tích của tam giác ABC

d) Độ dài đường cao xuất phát tử A

e) $\vec{A B .} \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{A C}$ với M là trung điểm của BC

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Sử dụng định lí cosin để tính độ dài BC và góc B của ∆ABC

Bước 2: Sử dụng định lí sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R của ∆ABC

Bước 3: Sử dụng công thức $S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A$ để tính diện tích của tam giác ABC

Bước 4: Sử dụng giá trị lượng giác của góc nhọn để tính độ dài đường cao AH

Bước 5: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tính $\vec{A B .} \vec{A C}, \vec{A M} . \vec{A C}$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

+ $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A B . A C . \cos A$ $= 4^{2} + 6^{2} - 2.4.6. \cos 60^{0} = 28$ $\Rightarrow B C = 2 \sqrt{7}$

+ $\cos B = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} \Rightarrow \hat{B} \approx 79^{0}$

b) Áp dụng định lí sin cho ∆ABC ta có: $\frac{B C}{\sin A} = 2 R \Rightarrow R = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{5}{2. \sin 60^{0}} \approx 3$

c) Diện tích tam giác ABC là: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .4 .6 . \sin 60^{0} \approx 10$

d) Gọi AH là một đường cao của tam giác ABC

Ta có: $S_{A B C} = \frac{1}{2} A H . B C \Rightarrow A H = \frac{2 S_{A B C}}{B C} \approx 4$

e) Ta có:

+ $\vec{A B .} \vec{A C} = A B . A C . \cos \hat{B A C} = 4.6. \cos 60^{0} = 12$

+ Do M là trung điểm BC nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$

$\vec{A M} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) . \vec{A C} = \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{1}{2} {\vec{A C}}^{2} = \frac{1}{2} .12 + \frac{1}{2} {.6}^{2} = 24$