Giải bài 72 trang 70

Tính góc giữa đường thẳng (Delta ) và mặt phẳng (left( P right)) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết (Delta :left{ begin{array}{l}x = - 1 - 5t\y = 4 - 4t\z = - 1 + 3tend{array} right.) (với (t) là tham số) và (left( P right):3{rm{x}} + 4y + 5{rm{z}} + 60 = 0).

Đề bài

Tính góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ), biết $Δ : {\begin{cases} x = - 1 - 5 t \\ y = 4 - 4 t \\ z = - 1 + 3 t \end{cases}$ (với $t$ là tham số) và $(P) : 3 x + 4 y + 5 z + 60 = 0$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó ta có:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| \vec{u} . \vec{n} |}{| \vec{u} | . | \vec{n} |} = \frac{| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} |}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

Đường thẳng $Δ$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (- 5; - 4; 3)$ .

Mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; 4; 5)$ .

Sin của góc giữa đường thẳng $Δ$ và mặt phẳng $(P)$ bằng:

$\sin (Δ, (P)) = | \cos (\vec{u}, \vec{n}) | = \frac{| - 5.3 - 4.4 + 3.5 |}{\sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 3^{2}} . \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 5^{2}}} = \frac{8}{25}$ .

Vậy $(Δ, (P)) \approx 19^{\circ}$ .