Giải bài 73 trang 107

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng −−→AB.−−→AC=12(AB2+AC2−BC2)AB→.AC→=12(AB2+AC2−BC2)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right) (*)

Đề bài

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ (*)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất ${| \vec{a} |}^{2} = {\vec{a}}^{2}$ ; các phép toán vectơ và các hằng đẳng thức để biến đổi vế phải của đẳng thức (*)

Lời giải chi tiết

Xét $A B^{2} + A C^{2} - B C^{2} = ({\vec{A B}}^{2} + {\vec{A C}}^{2} - {\vec{B C}}^{2}) = [{(\vec{A B} + \vec{A C})}^{2} - 2 \vec{A B} . \vec{A C} - {\vec{B C}}^{2}]$

$= [(\vec{A B} + \vec{A C} - \vec{B C}) (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{B C}) - 2 \vec{A B} . \vec{A C}]$ $= [(\vec{A B} + \vec{C B} - \vec{C A}) (\vec{A C} + \vec{A C}) - 2 \vec{A B} . \vec{A C}]$

$= (2 \vec{A B} .2 \vec{A C} - 2 \vec{A B} . \vec{A C}) = 2 \vec{A B} . \vec{A C}$

Vậy $\vec{A B} . \vec{A C} = \frac{1}{2} (A B^{2} + A C^{2} - B C^{2})$ (ĐPCM)