Giải bài 73 trang 85

Cho tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, có đường phân giác ADADAD. Vẽ hình vuông MNPQMNPQMNPQ ở đó MMM thuộc cạnh AB,NAB,NAB,N thuộc cạnh AC,PAC,PAC,P và QQQ thuộc cạnh BCBCBC.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , có đường phân giác $A D$ . Vẽ hình vuông $M N P Q$ ở đó $M$ thuộc cạnh $A B, N$ thuộc cạnh $A C, P$ và $Q$ thuộc cạnh $B C$ . Gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $B N$ và $M Q$ ; $C M$ và $N P$ (Hình 60). Chứng minh:

a) $D E$ song song với $A C$ ;

b) $D E = D F$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ gọi là đồng dạng với tam giác $A B C$ nếu:

$\hat{A^{'}} = \hat{A}, \hat{B^{'}} = \hat{B}, \hat{C^{'}} = \hat{C}$ ; $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ .

Kí hiệu là $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ .

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{C^{'} A^{'}}{C A} = k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $\frac{B E}{E N} = \frac{B Q}{Q P} = \frac{B Q}{M Q} = \frac{A B}{A C} = \frac{B D}{D C}$ suy ra $D E / / N C$ hay $D E / / A C$ .

b) Do $D E / / A C$ nên $\frac{D E}{C N} = \frac{B D}{B C}$ hay $D E = \frac{B D}{B C} . C N$

Tương tự: $D F = \frac{C D}{B C} . B M$ . Suy ra $\frac{D E}{D F} = \frac{B D}{C D} . \frac{C N}{B M}$ .

Mặt khác, $\frac{B D}{C D} = \frac{A B}{A C}$ và $\frac{C N}{B M} = \frac{A C}{A B}$ nên $\frac{D E}{D F} = 1$ hay $D E = D F$ .