Giải bài 75 trang 107

Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn −→IA=k−→IBIA→=kIB→\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} . Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:

Đề bài

Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn $\vec{I A} = k \vec{I B}$ . Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:

$\vec{O I} = (\frac{1}{1 - k}) \vec{O A} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{O B}$ (*)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tách các vectơ $\vec{O A}, \vec{O B}$ sao cho xuất hiện vectơ $\vec{O I}$ và kết hợp giả thiết để biến đổi vế phải (*)

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, $\vec{I A} = k \vec{I B}$

Xét vế phải (*) ta có:

VT = $(\frac{1}{1 - k}) \vec{O A} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{O B} = (\frac{1}{1 - k}) (\vec{O I} + \vec{I A}) - (\frac{k}{1 - k}) (\vec{O I} + \vec{I B})$

$= (\frac{1}{1 - k}) \vec{O I} + (\frac{1}{1 - k}) \vec{I A} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{O I} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{I B}$ $= (\frac{1}{1 - k} - \frac{k}{1 - k}) \vec{O I} + (\frac{1}{1 - k}) . k \vec{I B} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{I B}$

$= \vec{O I} + (\frac{1}{1 - k}) . k \vec{I B} - (\frac{k}{1 - k}) \vec{I B} = \vec{O I} + (\frac{k}{1 - k} - \frac{k}{1 - k}) \vec{I B}$ $= \vec{O I}$ (ĐPCM)