Giải bài 76 trang 107

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, ˆBACBAC^\widehat {BAC} = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn −−→AD=25−−→ACAD→=25AC→\overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} . Tính tích vô hướng −−→AB.−−→ACAB→.AC→\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} và chứng minh AM⊥B

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, $\hat{B A C}$ = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn $\vec{A D} = \frac{2}{5} \vec{A C}$ . Tính tích vô hướng $\vec{A B} . \vec{A C}$ và chứng minh $A M ⊥ B D$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính $\vec{A B} . \vec{A C}$

Bước 2: Sử dụng tích chất trung điểm của đoạn thẳng và tách các vectơ rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để biến đổi tích vô hướng $\vec{A M} . \vec{B D}$

Bước 3: Chứng minh $\vec{A M} . \vec{B D} = 0$ rồi kết luận

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . \cos \hat{B A C} = 4.5. \cos 120^{0} = - 10$

b) Do M là trung điểm BC nên $\vec{A M} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C})$ ; $A D = \frac{2}{5} A C = 2$

Xét $\vec{A M} . \vec{B D} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{A C}) (\vec{A D} - \vec{A B})$ $= \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A D} - \frac{1}{2} {\vec{A B}}^{2} + \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A D} - \frac{1}{2} \vec{A C} . \vec{A B}$

$= \frac{1}{2} A B . A D . \cos \hat{B A D} - \frac{1}{2} A B^{2} + \frac{1}{2} . \frac{2}{5} A C^{2} - \frac{1}{2} \vec{A B} . \vec{A C}$

$= \frac{1}{2} .4 .2 . \cos 120^{0} - \frac{1}{2} {.4}^{2} + \frac{1}{5} {.5}^{2} - \frac{1}{2} . (- 10) = 0$

$\Rightarrow \vec{A M} . \vec{B D} = 0 \Rightarrow A M ⊥ B D$