Giải bài 78 trang 37

Đề bài

Cho hàm số bậc ba $y=f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có đồ thị là đường cong như Hình 22. Căn cứ vào đồ thị hàm số:

a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[-1;2\right]$

c) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2.

d) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2.

e) Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại mấy điểm?

g) Với giá trị nào của $x$ thì $-2<f\left(x\right)<2$?

h) Tìm công thức xác định hàm số $f\left(x\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có:

‒ Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$; nghịch biến trên khoảng $\left(0;2\right)$.

‒ Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=0$, đạt cực tiểu tại điểm $x=2$.

b) Trên đoạn $\left[-1;2\right]$, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại $x=0$, đạt giá trị nhỏ nhất bằng ‒2 tại $x=-1,x=2$.

c) Điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2 là $\left(2;-2\right)$.

d) Điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2 là $\left(0;2\right)$ và $\left(3;2\right)$.

e) Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại 3 điểm.

g) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: $-2<f\left(x\right)<2,\forall x\in \left(-1;3\right)\setminus \left\{0;2\right\}$ (phần màu đỏ).

h) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vậy $d=2$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(1;0\right)$ nên ta có: $a{.1}^3+b{.1}^2+c.1+2=0\iff a+b+c=-2$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(-1;-2\right)$ nên ta có: $a.{\left(-1\right)}^3+b.{\left(-1\right)}^2+c.\left(-1\right)+2=-2$

$\iff -a+b-c=-4$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left(2;-2\right)$ nên ta có: $a{.2}^3+b{.2}^2+c.2+2=-2\iff 8a+4b+2c=-4$.

Từ đó ta có $a=1,b=-3,c=0$.

Vậy hàm số cần tìm là: $y=f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$.