Giải bài 79 trang 108

a) Chứng minh đẳng thức ∣∣∣→a+→b∣∣∣2=∣∣→a∣∣2+∣∣∣→b∣∣∣2+2→a.→b|a→+b→|2=|a→|2+|b→|2+2a→.b→{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b với →a,→ba→,b→\overrightarro

Đề bài

a) Chứng minh đẳng thức ${| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}$ với $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ bất kì

b) Cho $| \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 3, | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ . Tinh $\vec{a} . \vec{b}$ và $(\vec{a}, \vec{b})$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Dựng hình bình hành ABCD sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$

Bước 2: Sử dụng các quy tắc vectơ và hệ thức lượng trong tam giác để chứng minh đẳng thức

${| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}$

Bước 3: Áp dụng đẳng thức ${| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}$ để tính $\vec{a} . \vec{b}$ và $(\vec{a}, \vec{b})$

Lời giải chi tiết

a) Xét hình bình hành ABCD thỏa mãn $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Rightarrow | \vec{a} + \vec{b} | = A C$

Mà $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . A C . \cos B = A B^{2} + A D^{2} - 2 A B . A D . \cos B$

Mặt khác, $\hat{B A D} + \hat{B} = 180^{0} \Rightarrow \cos \hat{B} = - \cos \hat{B A D}$

$\Rightarrow A C^{2} = A B^{2} + A D^{2} + 2 A B . A D . \cos \hat{B A D} = {| \vec{A B} |}^{2} + {| \vec{A D} |}^{2} + 2 A B . A D . \cos (\vec{A B}, \vec{A D}) = {| \vec{A B} |}^{2} + {| \vec{A D} |}^{2} + 2 \vec{A B} . \vec{A D}$

$\Rightarrow {| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}$ (ĐPCM)

b) Theo a) ${| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} = {| \vec{a} |}^{2} + {| \vec{b} |}^{2} + 2 \vec{a} . \vec{b}$

$\Rightarrow \vec{a} . \vec{b} = \frac{{| \vec{a} + \vec{b} |}^{2} - {| \vec{a} |}^{2} - {| \vec{b} |}^{2}}{2} = \frac{{\sqrt{7}}^{2} - 2^{2} - 3^{2}}{2} = - 3$

Ta có: $\vec{a} . \vec{b} = - 3 \Leftrightarrow | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b}) = - 3 \Leftrightarrow \cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{- 3}{| \vec{a} | . | \vec{b} |} = - \frac{1}{2}$ $\Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120^{0}$