Giải bài 8.12 trang 51

Đề bài

 Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét biến cố $A$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”, $B$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”. Chứng tỏ rằng $A$ và $B$ không độc lập.

Lời giải chi tiết

Tính $P\left(A\right)$

Xét biến cố đối $\overline{A}:$ “ Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”,$\overline{A}=\left\{\left(a,b\right):a,b\in \left\{1;2;3;4;6\right\}\right\}$. Ta có $n\left(\overline{A}\right)=25$; $n\left(\Omega \right)=36$.

Vậy $P\left(\overline{A}\right)=\frac{25}{36}$, do đó $P\left(A\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$.

Vậy $P\left(A\right)=\frac{1}{4}$.

Tính $P\left(B\right)$, Ta có $B=\left\{\left(1,6\right);\left(2,5\right);\left(3,4\right);\left(4,3\right);\left(5,2\right);\left(6,1\right)\right\}$, $n\left(B\right)=6$.

Vậy $P\left(B\right)=\frac{6}{36}$.

Tính $P\left(AB\right)$, Ta có $AB=A\cap B=\left\{\left(2,5\right);\left(5,2\right)\right\}$, $n\left(A\cap B\right)=2$.

Vậy $P\left(AB\right)=\frac{2}{36}$.

Ta có $P\left(AB\right)=\frac{2}{36}=\frac{72}{{36}^2};P\left(A\right).P\left(B\right)=\frac{11}{36}.\frac{6}{36}=\frac{66}{{36}^2}$.

Suy ra: $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right).P\left(B\right)$.

Vậy $A$ và $B$ không độc lập.