Giải bài 8.14 trang 74

Đề bài

Biểu diễn $(3+\sqrt{2}{)}^5-(3-\sqrt{2}{)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là các số nguyên.

Lời giải chi tiết

$(3+\sqrt{2}{)}^5-(3-\sqrt{2}{)}^5$

$=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+5.3{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\left(\sqrt{2}\right)}^5$

$-\left[3^5-{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{10.3}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+5.3{\left(\sqrt{2}\right)}^4-{\left(\sqrt{2}\right)}^5\right]$

$=2\left[{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^2{\left(\sqrt{2}\right)}^3+{\left(\sqrt{2}\right)}^5\right]$

$=810\sqrt{2}+360\sqrt{2}+8\sqrt{2}$

$=1178\sqrt{2}$.