Giải bài 8.17 trang 57

Khai triển ({left( {{z^2} + 1 + frac{1}{z}} right)^4})

Đề bài

Khai triển ${(z^{2} + 1 + \frac{1}{z})}^{4}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức khai triển:

$(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$

với $a = z^{2} + 1, b = \frac{1}{z}$ , sau đó áp dụng công thức khai triển $(a + b)^{4}$ ,

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ,

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ với $a = z^{2}, b = 1$ .

Lời giải chi tiết

Ta có: ${(z^{2} + 1 + \frac{1}{z})}^{4}$

$= (z^{2} + 1)^{4} + 4 (z^{2} + 1)^{3} \frac{1}{z} + 6 (z^{2} + 1)^{2} {(\frac{1}{z})}^{2}$

$+ 4 (z^{2} + 1) {(\frac{1}{z})}^{3} + {(\frac{1}{z})}^{4}$

$= (z^{8} + 4 z^{6} + 6 z^{4} + 4 z^{2} + 1)$

$+ 4. (z^{6} + 3 z^{4} + 3 z^{2} + 1) (\frac{1}{z})$

$+ 6 (z^{4} + 2 z^{2} + 1) (\frac{1}{z^{2}})$

$+ 4 (z^{2} + 1) (\frac{1}{z^{3}}) + (\frac{1}{z^{4}})$

$= z^{8} + 4 z^{6} + 4 z^{5} + 12 z^{3} + 10 z^{2}$

$+ 12 z + 13 + \frac{8}{z} + \frac{6}{z^{2}} + \frac{4}{z^{3}} + \frac{1}{z^{4}}$ .