Đề bài
Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị của hàm số y=f(x) đi qua ba điểm có tọa độ là (−1;−4),(0;3) và (1;−14)
b) Đồ thị của hàm số y=f(x) đi qua ba điểm có tọa độ là (0;−2),(2;6) và (3;13)
c) f(−5)=33,f(0)=3 và f(2)=19
Lời giải chi tiết
a) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là f(x)=ax2+bx+c
Vì đồ thị của hàm số y=f(x) đi qua ba điểm có tọa độ là (−1;−4),(0;3) và (1;−14) nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:
⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩−4=a(−1)2+b(−1)+c3=a.02+b.0+c−14=a(1)2+b(1)+c⇔⎧⎪⎨⎪⎩a−b+c=−4c=3a+b+c=−14⇔⎧⎪⎨⎪⎩a=−12b=−5c=3
Từ a, b, c đã xác định được ta có Δ=169>0, tam thức có hai nghiệm phân biệt x=−34 và x=13, trong đó a=−12<0
Ta có bảng biến thiên sau đây
Vậy tam thức đã cho có dạng là f(x)=−12x2−5x+3 dương trên khoảng (−34;13), âm trên khoảng (−∞;−34) và (13;+∞)
b) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là f(x)=ax2+bx+c
Vì đồ thị của hàm số y=f(x) đi qua ba điểm có tọa độ là (0;−2),(2;6) và (3;13)
nên thay tọa độ của ba điểm vào phương trình tổng quát ta có:
⎧⎪⎨⎪⎩−2=a.02+b.0+c6=a.22+b.2+c13=a.32+b.3+c⇔⎧⎪⎨⎪⎩c=−24a+2b+c=69a+3b+c=13⇔⎧⎪⎨⎪⎩a=1b=2c=−2
Từ a, b, c đã xác định được ta có Δ=12>0, tam thức có hai nghiệm phân biệt x=−1−√3 và x=−1+√3, trong đó a=1>0
Ta có bảng biến thiên sau đây
Vậy tam thức đã cho có dạng là f(x)=x2+2x−2 âm trên khoảng (−1−√3;−1+√3), dương trên khoảng (−∞;−1−√3) và (−1+√3;+∞)
c) Giả sử tam thức bậc hai có công thức tổng quát là f(x)=ax2+bx+c
Vì f(−5)=33 nên a.(−5)2+b.(−5)+c=33
Vì f(0)=3 nên a.02+b.0+c=3
Vì f(2)=19 nên a.22+b.2+c=19
Từ đó ta có hệ
⎧⎪⎨⎪⎩a.(−5)2+b.(−5)+c=33a.02+b.0+c=3a.22+b.2+c=19⇔⎧⎪⎨⎪⎩25a−5b+c=33c=34a+2b+c=19⇔⎧⎪⎨⎪⎩25a−5b=304a+2b=16c=3⇔⎧⎪⎨⎪⎩a=2b=4c=3
Vậy f(x)=2x2+4x+3, có Δ′=22−2.3=−2<0 và a=2>0nên f(x)>0 với mọi x∈R.
