Giải bài 8 trang 11

Chứng minh rằng: a) Phương trình x3+5x2−8x+4=0x3+5x2−8x+4=0{x^3} + 5{x^2} - 8{\rm{x}} + 4 = 0 có duy nhất một nghiệm. b) Phương trình −x3+3x2+24x−1=0−x3+3x2+24x−1=0 - {x^3} + 3{x^2} + 24x - 1 = 0 có ba nghiệm phân biệt.

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Phương trình $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ có duy nhất một nghiệm.

b) Phương trình $- x^{3} + 3 x^{2} + 24 x - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét hàm số $y = f (x)$ , lập bảng biến thiên, xem xét giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng $y = 0$ và kết luận.

Lời giải chi tiết

a) Đặt $y = x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4$ .

Tập xác định: $D = R$ .

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 10 x - 8; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 4$ hoặc $x = \frac{2}{3}$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng $y = 0$ giao với đồ thị của hàm số tại đúng một điểm trong khoảng $(- \infty; - 4)$ . Do đó phương trình $x^{3} + 5 x^{2} - 8 x + 4 = 0$ có duy nhất một nghiệm.

b) Đặt $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 24 x - 1$ .

Tập xác định: $D = R$ .

Ta có $y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x + 24; y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 4$ hoặc $x = - 2$ .

Bảng biến thiên:

Từ bảng biển thiên, ta thấy đường thẳng $y = 0$ giao với đồ thị của hàm số tại ba điểm phân biệt. Do đó phương trình $- x^{3} + 3 x^{2} + 24 x - 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt.