Giải bài 8 trang 12

Đề bài

Có hai nhóm học sinh. Nhóm thứ nhất có 5 nam và 6 nữ. Nhóm thứ hai có 5 nam và 7 nữ. Từ mỗi nhóm học sinh, ta chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Gọi X là số học sinh nữ trong số 2 học sinh được chọn ra.

a) Lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

b) Tính kì vọng, phương sai của X.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi $X = 0; X = 1; X = 2$ lần lượt là biến cố: “không có HS nữ được chọn”; “ có 1 HS nữ trong 2 HS được chọn”; “chọn được 2 HS nữ.”

Tính $P (X = 0); P (X = 1); P (X = 2)$

Lập bảng phân bố xác suất.

b) Áp dụng công thức:

Kì vọng: $E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + . . . + x_{n} p_{n}$

Phương sai: $V (X) = (x_{1} - μ)^{2} p_{1} + (x_{2} - μ)^{2} p_{2} + . . . + (x_{n} - μ)^{2} p_{n}$

Lời giải chi tiết

a) X là biến ngẫu nhiên rời rạc và nhận giá trị trong tập ${0; 1; 2}$

Ta có $n (Ω) = C_{11}^{1} . C_{12}^{1} = 132$

+ Biến cố X=0 là biến cố :”Không có học sinh nữ được chọn.”

Suy ra $n (X = 0) = C_{5}^{1} . C_{5}^{1} = 25 \Rightarrow P (X = 0) = \frac{25}{132} .$

+ Biến cố X=1 là biến cố :”Có 1 học sinh nữ trong số 2 hs được chọn.”

TH1: Nhóm 1 chọn được học sinh nữ, nhóm 2 chọn được học sinh nam

Suy ra có $C_{6}^{1} . C_{5}^{1} = 30$ cách chọn

TH2: Nhóm 1 chọn được học sinh nam, nhóm 2 chọn được học sinh nữ.

Suy ra có $C_{5}^{1} . C_{7}^{1} = 35$ cách chọn

Do đó $P (X = 1) = \frac{30 + 35}{132} = \frac{65}{132}$

+ Biến cố X=2 là biến cố :”Chọn được 2 HS nữ.”

Suy ra $n (X = 2) = C_{6}^{1} . C_{7}^{1} = 42 \Rightarrow P (X = 2) = \frac{42}{132} .$

Bảng phân bố xác suất của X là:

b) Có:

$\begin{array}{l} E (X) = 0. \frac{25}{132} + 1. \frac{65}{132} + 2. \frac{42}{132} = \frac{49}{132} \\ V (X) = {(0 - \frac{49}{132})}^{2} . \frac{25}{132} + {(1 - \frac{49}{132})}^{2} . \frac{65}{132} + {(2 - \frac{49}{132})}^{2} . \frac{42}{132} \approx 0, 49 \end{array}$