Giải bài 8 trang 124, 125 vở thực hành Toán 9

Cho tam giác ABC ((widehat A) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng: a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA); b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).

Đề bài

Cho tam giác ABC ( $\hat{A}$ vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:

a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);

b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Chứng minh $A B ⊥ A C$ , $A B ⊥ A C$ , mà $A \in (C; C A)$ nên BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA)

+ Chứng minh $Δ A B C = Δ A^{'} B C (c . c . c)$ nên $\hat{B A C} = \hat{B A^{'} C} = 90^{o}$ , do đó $A^{'} B ⊥ A^{'} C$ , suy ra BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

b) + $A B ⊥ A C$ và $A \in (B; B A)$ nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).
+ Chứng minh tương tự ta có CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Lời giải chi tiết

(H.5.48)

a) Tam giác ABC vuông tại A nên $A B ⊥ A C$ , mà $A \in (C; C A)$ do đó BA là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Hai tam giác ABC và A’BC có:

BC là cạnh chung,

$A B = A^{'} B$ (cùng bằng bán kính của (B; AB)),

$A C = A^{'} C$ (cùng bằng bán kính của (C; AC))

Do đó, $Δ A B C = Δ A^{'} B C (c . c . c)$ , suy ra $\hat{B A C} = \hat{B A^{'} C} = 90^{o}$ , hay $A^{'} B ⊥ A^{'} C$ .

Mặt khác, $A^{'} \in (C; C A^{'})$ nên BA’ là tiếp tuyến của đường tròn (C; CA).

Vậy BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);

b) Ta có: $A B ⊥ A C$ và $A \in (B; B A)$ nên CA là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Tương tự, CA’ là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA).

Vậy CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).