Giải bài 8 trang 15

Tính các tích phân sau: a) (intlimits_{ - 1}^2 {left| {{x^2} + x - 2} right|dx} ); b) (intlimits_{ - 1}^1 {left| {{e^x} - 1} right|dx} ).

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) $\int_{- 1}^{2} | x^{2} + x - 2 | d x$ ;

b) $\int_{- 1}^{1} | e^{x} - 1 | d x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

• $\int_{a}^{b} [f (x) + g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

• $\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$ .

Lời giải chi tiết

a) $x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = - 2$ (loại)

Bảng xét dấu trên đoạn $[- 1; 2]$ :

Do đó:

$\begin{array}{l} \int_{- 1}^{2} | x^{2} + x - 2 | d x = \int_{- 1}^{1} | x^{2} + x - 2 | d x + \int_{1}^{2} | x^{2} + x - 2 | d x = \int_{- 1}^{1} [- (x^{2} + x - 2)] d x + \int_{1}^{2} (x^{2} + x - 2) d x \\ = - {(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x) |}_{- 1}^{1} + {(\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 2 x) |}_{1}^{2} = \frac{31}{6} \end{array}$

b) $e^{x} - 1 = 0 \Leftrightarrow e^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$ .

Bảng xét dấu trên đoạn $[- 1; 1]$ :

Do đó:

$\begin{array}{l} \int_{- 1}^{1} | e^{x} - 1 | d x = \int_{- 1}^{0} | e^{x} - 1 | d x + \int_{0}^{1} | e^{x} - 1 | d x = \int_{- 1}^{0} [- (e^{x} - 1)] d x + \int_{0}^{1} (e^{x} - 1) d x \\ = - {(e^{x} - x) |}_{- 1}^{0} + {(e^{x} - x) |}_{0}^{1} = e + \frac{1}{e} - 2 \end{array}$