Giải bài 8 trang 18

Đề bài

Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình vuông nhỏ có cạnh bằng $x$ (cm) ở bốn góc (Hình 3a) và gấp lại thành một hình hộp không nắp (Hình 3b). Tìm $x$ để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

Theo đề bài ta có: Cạnh của hộp là: $12-2x\left(cm\right)$.

Chiều cao của hộp là: $x\left(cm\right)$.

Thể tích của hộp là: $V\left(x\right)=x{\left(12-2x\right)}^2=4x^3-48x^2+144x\left(c{m}^3\right)$.

Vì cạnh của hộp không âm nên $12-2x\ge 0\iff x\le 6$

Xét hàm số $V\left(x\right)=4x^3-48x^2+144x$ trên đoạn $\left[0;6\right]$.

Ta có: $V^{\prime }\left(x\right)=12x^2-96x+144$

$V^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=6$ hoặc $x=2$.

$V\left(0\right)=0;V\left(2\right)=128;V\left(6\right)=0$

Vậy $\underset{\left[0;6\right]}{max}V\left(x\right)=V\left(2\right)=128$.

Vậy với $x=2\left(cm\right)$ thì thể tích của hình hộp là lớn nhất.