Giải bài 8 trang 22

Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {x^2}) và (y = sqrt x ) (Hình 14). a) Tính diện tích của (D). b) Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục (Ox).

Đề bài

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = x^{2}$ và $y = \sqrt{x}$ (Hình 14).

a) Tính diện tích của $D$ .

b) Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $D$ quanh trục $O x$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y = f (x), y = g (x)$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ là: $S = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x$ .

‒ Sử dụng công thức: Tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f (x), y = g (x)$ và hai đường thẳng $x = a, x = b$ quay quanh trục $O x$ là: $V = π \int_{a}^{b} | {[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2} | d x$ .

Lời giải chi tiết

a) $S = \int_{0}^{1} | \sqrt{x} - x^{2} | d x = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^{2}) d x = \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x = {(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^{3}}{3}) |}_{0}^{1} = \frac{1}{3}$ .

b) $V = π \int_{0}^{1} | {(\sqrt{x})}^{2} - {(x^{2})}^{2} | d x = π \int_{0}^{1} | x - x^{4} | d x$

$x - x^{4} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ .

$V = π \int_{0}^{1} | x - x^{4} | d x = | π \int_{0}^{1} (x - x^{4}) d x | = | {π (\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{5}}{5}) |}_{0}^{1} | = \frac{3 π}{10}$ .