Giải bài 8 trang 26

Đề bài

Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=\sqrt{x}$, trục hoành và đường thẳng $x=4$. Đường thẳng $x=a\left(0<a<4\right)$ chia $D$ thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của $a$.

Lời giải chi tiết

Diện tích phần bên trái: $S_1=\underset{0}{\overset{a}{\int }}\left|\sqrt{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{a}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx={\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}|}_0^a=\frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}$.

Diện tích hình phẳng $D$: $S_D=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|\sqrt{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}{x}^{\frac{1}{2}}dx={\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}|}_0^4=\frac{16}{3}$.

Đường thẳng $x=a\left(0<a<4\right)$ chia $D$ thành hai phần có diện tích bằng nhau nên ta có:

$S_1=\frac{1}{2}{S}_D\iff \frac{2}{3}{a}^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}.\frac{16}{3}\iff a^{\frac{3}{2}}=4\iff a^3=16\iff a=2\sqrt[3]{32}$.