Giải bài 8 trang 32

Đề bài

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}$;

b) $y=-2x+\frac{1}{2x+1}$.

Lời giải chi tiết

a)

1. Tập xác định: $D=R\setminus \left\{1\right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm

$y^{\prime }=\frac{{\left(x^2-2x+2\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+2\right){\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}$.

$y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$

Trên các khoảng $\left(-\infty ;0\right)$ và $\left(2;+\infty \right)$, $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng $\left(0;2\right)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x=0$ và $y_{CĐ}=-2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ và $y_{CT}=2$.

• Tiệm cận:

Ta có:  $\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(\frac{x^2-2x+2}{x-1}\right)=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{x^2-2x+2}{x-1}\right)=+\infty$

Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:  $a=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^2-2x+2}{x\left(x-1\right)}=1$ và

$b=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[\frac{x^2-2x+2}{x-1}-x\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{-x+2}{x-1}=-1$

Vậy đường thẳng $y=x-1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có $y=0\iff x^2-2x+2=0$ (phương trình vô nghiệm).

Vậy đồ thị hàm số không có giao điểm với trục $Ox$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left(0;-2\right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left(1;0\right)$.

b) $y=-2x+\frac{1}{2x+1}=\frac{-4x^2-2x+1}{2x+1}$

1. Tập xác định: $D=R\setminus \left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên:

Đạo hàm $y^{\prime }=-2-\frac{2}{{\left(2x+1\right)}^2}$.

Vì $y^{\prime }<0$ với mọi $x\ne -\frac{1}{2}$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right)$ và $\left(-\frac{1}{2};+\infty \right)$.

• Tiệm cận:

Ta có:  $\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{lim}y=\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{lim}\left(\frac{-4x^2-2x+1}{2x+1}\right)=-\infty ;\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{lim}y=\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{+}}{lim}\left(\frac{-4x^2-2x+1}{2x+1}\right)=+\infty$

Vậy $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ta có:  $a=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{-4x^2-2x+1}{x\left(2x+1\right)}=-2$ và

$b=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[f\left(x\right)+2x\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\left[-2x+\frac{1}{2x+1}+2x\right]=\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1}{2x+1}=0$

Vậy đường thẳng $y=2x$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

Ta có $y=0\iff -4x^2-2x+1=0\iff x=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ hoặc $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục $Ox$ tại hai điểm $\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{4};0\right)$ và $\left(\frac{-1-\sqrt{5}}{4};0\right)$.

Đồ thị hàm số giao với trục $Oy$ tại điểm $\left(0;1\right)$.

Vậy đồ thị hàm số được biểu diễn như hình vẽ.

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left(-\frac{1}{2};1\right)$.