Giải bài 8 trang 37

Đề bài

Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp dựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 $c m^{3}$ (Hình 5). Hãy tính bán kính đáy và chiều cao của chiếc hộp để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất (Hình 6).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Từ thể tích của hộp đựng nước giải khát ta sẽ biểu diễn được chiều cao của hộp nước theo bán kính đáy của nó $h = \frac{500}{π r^{2}}$

+) Diện tích vỏ hộp chính là diện tích toàn phần của hộp nước hình trụ.

+) Ta sẽ biểu diễn được diện tích vỏ hộp bằng một hàm số $S (r)$ ẩn r

+) Yêu cầu bài toán đồng nghĩa với việc ta phải đi tìm bán kính, chiều cao mà ở đó hàm số $S (r)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Chiều cao $h$ của hộp đứng nước có dạng hình trụ là $h = \frac{500}{π r^{2}}$ (cm).

Diện tích mặt đáy của hộp đựng nước là $S_{d} = π r^{2}$ ( $c m^{2}$ ).

Diện tích xung quanh của hộp đựng nước là $S_{x q} = 2 π r h = 2 π r . \frac{500}{π r^{2}} = \frac{1000}{r} (c m^{2})$

Diện tích vỏ hộp là $S = 2 π r^{2} + \frac{1000}{r} (c m^{2})$ .

Xét hàm số $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{1000}{r}, r \in (0; + \infty) .$

Ta có $S^{'} (r) = 4 π r - \frac{1000}{r^{2}} .$ Do đó $S^{'} (r) = 0 \Leftrightarrow r = \frac{10}{\sqrt[3]{4 π}} .$

Ta có bảng biến thiên của hàm số $S (r)$ như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên ta có $min_{(0; + \infty)} S (r) \approx 348, 73$ tại $r = \frac{10}{\sqrt[3]{4 π}}$ (cm).

Vậy để diện tích vỏ hộp là nhỏ nhất thì bán kính của chiếc hộp là $r = \frac{10}{\sqrt[3]{4 π}}$ (cm) và chiều cao của chiếc hộp là $h = \frac{500}{π {(\frac{10}{\sqrt[3]{4 π}})}^{2}} = \frac{5 {(\sqrt[3]{4 π})}^{2}}{π}$ (cm).