Giải bài 8 trang 37 vở thực hành Toán 9

Cho (a > b > 0), chứng minh rằng: a) ({a^2} > ab) và (ab > {b^2}); b) ({a^2} > {b^2}) và ({a^3} > {b^3}).

Đề bài

Cho $a > b > 0$ , chứng minh rằng:

a) $a^{2} > a b$ và $a b > b^{2}$ ;

b) $a^{2} > b^{2}$ và $a^{3} > b^{3}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Với ba số a, b, c và $c > 0$ ta có: $a > b$ thì $a c > b c$ .

b) Nếu $a > b, b > c$ thì $a > c$ .

Lời giải chi tiết

a) Từ $a > b > 0$ nên $a . a > b . a$ và $a . b > b . b$ hay $a^{2} > a b$ và $a b > b^{2}$ .

b) Theo ý a) và tính chất bắc cầu của bất đẳng thức ta suy ra $a^{2} > b^{2}$ .

Từ $a^{2} > b^{2}$ nên $a^{2} . a > b^{2} . a > b^{2} . b$ , do đó $a^{3} > b^{3}$ .

Chú ý. Ta có thể xét $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Vì $a - b > 0$ và $a + b > 0$ nên $a^{2} > b^{2}$ .