Giải bài 8 trang 38

Đề bài

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

$(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$ với $n \in N *$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh mệnh đề đúng với $n \geq p$ thì:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với $n = p$

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên $n = k \geq p$ và chứng minh mệnh đề đúng với $n = k + 1.$ Kết luận.

Lời giải chi tiết

Công thức nhị thức Newton: $(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + . . . + C_{n}^{n - 1} a b^{n - 1} + C_{n}^{n} b^{n}$

Ta chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $(a + b)^{1} = C_{1}^{0} a + C_{1}^{1} b (= a + b)$

Như vậy công thức đúng với $n = 1$

Bước 2: Giả sử công thức đúng với $n = k$ , nghĩa là có:

$(a + b)^{k} = C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + . . . + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k}$

Ta sẽ chứng minh công thức cũng đúng với $n = k + 1$ , nghĩa là cần chứng minh

$(a + b)^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{k} b + . . . + C_{k + 1}^{k} a b^{k} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1}$

Thật vậy ta có

$\begin{array}{l} (a + b)^{k + 1} = (a + b)^{k} (a + b) = (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + . . . + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k}) (a + b) \\ = (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + . . . + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k}) a + (C_{k}^{0} a^{k} + C_{k}^{1} a^{k - 1} b + . . . + C_{k}^{k - 1} a b^{k - 1} + C_{k}^{k} b^{k}) b \\ = (C_{k}^{0} a^{k + 1} + C_{k}^{1} a^{k} b + . . . + C_{k}^{k - 1} a^{2} b^{k - 1} + C_{k}^{k} a b^{k}) + (C_{k}^{0} a^{k} b + C_{k}^{1} a^{k - 1} b^{2} + . . . + C_{k}^{k - 1} a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1}) \\ = C_{k}^{0} a^{k + 1} + (C_{k}^{1} + C_{k}^{0}) a^{k} b + . . . + (C_{k}^{m} + C_{k}^{m - 1}) a^{k + 1 - m} b^{m} + . . . + (C_{k}^{k} + C_{k}^{k - 1}) a b^{k} + C_{k}^{k} b^{k + 1} \end{array}$

Mà $C_{k}^{m} + C_{k}^{m - 1} = C_{k + 1}^{m} (0 \leq m \leq k), C_{k}^{0} = C_{k + 1}^{0} = 1, C_{k}^{k} = C_{k + 1}^{k + 1} = 1$

$\Rightarrow (a + b)^{k + 1} = C_{k + 1}^{0} a^{k + 1} + C_{k + 1}^{1} a^{k} b + . . . + C_{k + 1}^{k} a b^{k} + C_{k + 1}^{k + 1} b^{k + 1}$

Vậy công thức đúng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$