Giải bài 8 trang 57

Đề bài

Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng độ dài hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi tứ giác đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về đường chéo trong tứ giác: Trong tứ giác, đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau.

+ Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức trong tam giác để chứng minh: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh tam giác lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Lời giải chi tiết

Vẽ tứ giác ABCD có I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo bất đẳng thức trong tam giác, ta có:

$I A + I B > A B$ , $I B + I C > B C$ , $I C + I D > C B$ , $I A + I D > A D$

Do đó: $2 (I A + I B + I C + I D) > A B + B C + C D + D A$

Hay $2 (A C + B D) > A B + B C + C D + D A$

Do đó: $A C + B D > \frac{A B + B C + C D + D A}{2}$ (đpcm)