Giải bài 8 trang 60

An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác ABCABCABC nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng MNMNMN.

Đề bài

An có một mảnh bìa có dạng hình tam giác $A B C$ nhưng bị rách. An muốn cắt bỏ phần bị rách với vết cắt là đoạn thẳng $M N$ . Tính diện tích tứ giác $M N C B$ theo diện tích tam giác $A B C$ , biết $\frac{A M}{M B} = \frac{2}{3}$ và $\frac{N C}{N A} = \frac{1}{5}$ (Hình 12)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

Kẻ đường cao $M H$ của tam giác $A M N$ và đường cao $B K$ của tam giác $A B C$ .

Do $M H / / B K$ nên $\frac{M H}{B K} = \frac{A M}{A B}$

Ta có $\frac{S_{Δ A M N}}{S_{Δ A B C}} = \frac{(A N . M H) : 2}{(A C . B K) : 2} = \frac{A N}{A C} . \frac{A M}{A B}$ (1)

Do $\frac{A M}{M B} = \frac{2}{3}, \frac{N C}{N A} = \frac{1}{5}$ nên $\frac{A M}{A B} = \frac{2}{5}, \frac{A N}{A C} = \frac{5}{6}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{S_{Δ A M N}}{S_{Δ A B C}} = \frac{A M}{A B} . \frac{A N}{A C} = \frac{2}{5} . \frac{5}{6} = \frac{1}{3}$

→ $S_{Δ A B C} = 3 S_{Δ A M N}$

Từ đó dễ thấy diện tích phần bị cắt bỏ bằng $\frac{2}{3} S_{Δ A B C}$ .