Giải bài 8 trang 61

Đề bài

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S).
Cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ có độ dài tất cả các cạnh đều bằng $a$ (Hình 10).

a) Tứ giác $A B C D$ là hình vuông.

b) Tam giác $S A C$ vuông cân tại $S$ .

c) $(\vec{S A}, \vec{A C}) = 45^{\circ}$ .

d) $\vec{S A} . \vec{A C} = - a^{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng định lí Pitago.

‒ Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{a} . \vec{b} = | \vec{a} | . | \vec{b} | . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Lời giải chi tiết

$S . A B C D$ là chóp tứ giác đều nên tứ giác $A B C D$ là hình vuông. Vậy a) đúng.

$A B C D$ là hình vuông nên $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Tam giác $S A C$ có: $S A^{2} + S C^{2} = 2 a^{2} = A C^{2}$ .

Vậy tam giác $S A C$ vuông cân tại $S$ . Vậy b) đúng.

$\begin{array}{l} \cos (\vec{S A}, \vec{A C}) = \frac{\vec{S A} . \vec{A C}}{| \vec{S A} | . | \vec{A C} |} = \frac{- \vec{A S} . \vec{A C}}{| \vec{S A} | . | \vec{A C} |} = \frac{- | \vec{A S} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A S}, \vec{A C})}{| \vec{S A} | . | \vec{A C} |} \\ = \frac{- a . a \sqrt{2} . \cos \hat{S A C}}{a . a \sqrt{2}} = \frac{- a . a \sqrt{2} . \cos 45^{\circ}}{a . a \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \end{array}$

$\Rightarrow (\vec{S A}, \vec{A C}) = 135^{\circ}$ . Vậy c) sai.

$\vec{S A} . \vec{A C} = - \vec{A S} . \vec{A C} = - | \vec{A S} | . | \vec{A C} | . \cos (\vec{A S}, \vec{A C})$

$= - a . a \sqrt{2} . \cos \hat{S A C} = - a . a \sqrt{2} . \cos 45^{\circ} = - a^{2}$ .

Vậy d) đúng.

a) Đ

b) Đ

c) S

d) Đ