Giải bài 8 trang 62 vở thực hành Toán 9

Đề bài

Xét biểu thức: $A=\left(\frac{x\sqrt{x}+8}{x-2\sqrt{x}+4}-2\sqrt{x}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}$.

a) Tìm tất cả các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho có giá trị không đổi.

Lời giải chi tiết

a) Nếu $x<0$ thì không tính được $\sqrt{x}$, nếu $x=4$ thì phép chia cho $x-4$ không thực hiện được và không tính được giá trị của biểu thức đã cho.

Nếu x không âm và khác 4 thì $x-2\sqrt{x}+4={\left(\sqrt{x}-1\right)}^2+3>0$ nên tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức đã cho đều thực hiện được.

Vậy tập hợp các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức là $\left\{x\in R|x\ge 0,x\ne 4\right\}$.

b) Với x không âm và khác 4 thì

$x\sqrt{x}+8={\left(\sqrt{x}\right)}^3+2^3=\left(x-2\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}+2\right)$

và $\frac{x\sqrt{x}+8}{x-2\sqrt{x}+4}=\sqrt{x}+2$.

Do đó

$A=\left(\frac{x\sqrt{x}+8}{x-2\sqrt{x}+4}-2\sqrt{x}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}=\left(\sqrt{x}+2-2\sqrt{x}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}=\left(2-\sqrt{x}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=-1$

Vậy với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho nhận giá trị không đổi.