Giải bài 8 trang 64

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Gọi x,y,zx,y,zx,y,z theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ −−→AC′AC′→\overrightarrow {AC'} với các vectơ −−→AB,−−→AD,−−→AA′AB→,AD→,AA′→\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'} . Chứng minh cos2x+cos2y+cos2z=1

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi $x, y, z$ theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ $\vec{A C^{'}}$ với các vectơ $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A^{'}}$ .

Chứng minh $\cos^{2} x + \cos^{2} y + \cos^{2} z = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lý Pitago.

Lời giải chi tiết

Gọi $a, b, c, d$ lần lượt là độ dài của $A B, A D, A A^{'}, A C^{'}$ .

Tam giác $A B C$ vuông tại $B \Rightarrow A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Tam giác $A C C^{'}$ vuông tại $C$

$\Rightarrow A C^{' 2} = A C^{2} + C C^{' 2} = A B^{2} + B C^{2} + A A^{' 2}$

Do đó $d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Ta có: $\cos x = \frac{A B}{A C^{'}} = \frac{a}{d}, \cos y = \frac{A D}{A C^{'}} = \frac{b}{d}, \cos z = \frac{A A^{'}}{A C^{'}} = \frac{c}{d}$

$\cos^{2} x + \cos^{2} y + \cos^{2} z = {(\frac{a}{d})}^{2} + {(\frac{b}{d})}^{2} + {(\frac{c}{d})}^{2} = \frac{a^{2}}{d^{2}} + \frac{b^{2}}{d^{2}} + \frac{c^{2}}{d^{2}} = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{d^{2}} = \frac{d^{2}}{d^{2}} = 1$ .