Giải bài 8 trang 64

Đề bài

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $x,y,z$ theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ với các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Chứng minh ${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}y+{\cos }^{2}z=1$.

Lời giải chi tiết

Gọi $a,b,c,d$ lần lượt là độ dài của $AB,AD,A{A}^{\prime },A{C}^{\prime }$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B\Rightarrow A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$.

Tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$

$\Rightarrow AC{}^{\prime 2}=A{C}^2+CC{}^{\prime 2}=A{B}^2+B{C}^2+AA{}^{\prime 2}$

Do đó $d^2=a^2+b^2+c^2$.

Ta có: $\cos x=\frac{AB}{A{C}^{\prime }}=\frac{a}{d},\cos y=\frac{AD}{A{C}^{\prime }}=\frac{b}{d},\cos z=\frac{A{A}^{\prime }}{A{C}^{\prime }}=\frac{c}{d}$

${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}y+{\cos }^{2}z={\left(\frac{a}{d}\right)}^2+{\left(\frac{b}{d}\right)}^2+{\left(\frac{c}{d}\right)}^2=\frac{a^2}{d^2}+\frac{b^2}{d^2}+\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{d^2}=\frac{d^2}{d^2}=1$.