Giải bài 8 trang 75

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC$.

b) Đường thẳng QN cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng $FB.FC=FQ.FN$.

c) Trên đoạn HB lấy điểm I sao cho $\widehat{AIC}={90}^0$. Chứng minh rằng $A{I}^2=AN.AC$.

d) Trên đoạn HC lấy điểm K sao cho $\widehat{AKB}={90}^0$. Chứng minh rằng $\Delta AIK$ cân.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh được $\Delta ANB\backsim \Delta AQC\left(g.g\right)$ suy ra $\frac{AN}{AQ}=\frac{AB}{AC}$ hay $\frac{AN}{AB}=\frac{AQ}{AC}$

Tam giác ANQ và tam giác ABC có:

$\frac{AN}{AB}=\frac{AQ}{AC}$ và góc CAB chung nên $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC\left(c.g.c\right)$

b) Vì $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC$ nên $\widehat{AQN}=\widehat{NCF}$

Mà $\widehat{AQN}=\widehat{FQB}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\widehat{FQB}=\widehat{FCN}$

Tam giác FQB và tam giác FCN có: $\widehat{CFN}chung,\widehat{FQB}=\widehat{FCN}\left(cmt\right)$

Do đó, $\Delta FQB\backsim \Delta FCN\left(g.g\right)$. Suy ra $\frac{FQ}{FC}=\frac{FB}{FN}$ , suy ra $FB.FC=FQ.FN$

c) Chứng minh $\Delta ANI\backsim \Delta AIC\left(g.g\right)$ nên $\frac{AN}{AI}=\frac{AI}{AC}$, do đó, $A{I}^2=AN.AC$

d) Chứng minh $\Delta AQK\backsim \Delta AKB\left(g.g\right)$, suy ra $\frac{AK}{AB}=\frac{AQ}{AK}$, do đó $A{K}^2=AB.AQ$

mà $AN.AC=AQ.AB$ (vì $\frac{AN}{AB}=\frac{AQ}{AC}$) và $A{I}^2=AN.AC$ nên $AI=AK$. Vậy $\Delta AIK$ cân tại A.