Giải bài 8 trang 75

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có $A B = a, B C = b, A C = m, B D = n$ . Chứng minh $m^{2} + n^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Sử dụng định lí cosin cho hai tam giác ∆ABC và ∆ADB để tính độ dài AC và BD

Bước 2: Xét mối liên hệ của các góc trong hình bình hành

Bước 3: Biến đổi các đẳng thức. Kết luận

Lời giải chi tiết

- Áp dụng định lí cosin cho ∆ABC ta có:

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2. A B . B C . \cos \hat{A B C}$ $\Leftrightarrow m^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos \hat{A B C}$ (1)

- Áp dụng định lí cosin cho ∆ADB ta có:

$B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} - 2. A B . A D . \cos \hat{D A B}$ $\Leftrightarrow n^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos \hat{D A B}$ (2)

Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC $\Rightarrow \hat{A B C} + \hat{D A B} = 180^{0}$ $\Rightarrow \cos \hat{A B C} = - \cos \hat{D A B}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $m^{2} + n^{2} = 2 (a^{2} + b^{2}) - 2 a b (\cos \hat{A B C} + \cos \hat{D A B})$ $\Leftrightarrow m^{2} + n^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ (ĐPCM)