Giải bài 8 trang 81

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ , gọi $M$ là trung điểm của $B C$ . Lấy điểm $D$ đối xứng với điểm $A$ qua $B C$ .

a) Chứng minh tứ giác $A B D C$ là hình thoi

b) Gọi $E$ , $F$ lần lượt là trung điểm của $A B$ và $A C$ , lấy điểm $O$ sao cho $E$ là trung điểm của $O M$ . Chứng minh rằng hai tam giác $A O B$ và $M B O$ bằng nhau

c) Chứng minh tứ giác $A E M F$ là hình thoi

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi

b) Sử dụng tính chất của tam giác cân, chứng minh $A M$ vuông góc với $B C$ . Chứng minh $O A M B$ là hình bình hành

Chứng minh $O B$ // $A M$

Chứng minh $Δ A O B = Δ M B O$ (hai tam giác vuông)

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác

A B D C

có:

M

là trung điểm của

B C

(gt)

M

là trung điểm của

A D

(do

D

đối xứng với

A

qua

B C

)

Suy ra

A B D C

là hình bình hành

Ta có tam giác ABC là tam giác cân nên AB = AC.

Suy ra

A B D C

là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)

b) Do

Δ A B C

cân tại

A

, có

A M

là trung tuyến (gt)

Suy ra

A M

là đường cao, trung trực, phân giác

Suy ra

A M

vuông góc

B M

và

C M

Xét tứ giác

O A M B

ta có:

E

là trung điểm của

O M

và

A B

(gt)

Suy ra

O A M B

là hình bình hành

Suy ra

O B

A M

;

O A

M B

;

O A = B M

;

O B = A M

Mà

A M ⊥ B M

(cmt)

Suy ra:

A M ⊥ O A

;

O B ⊥ M B

Mà

A M

O B

(cmt)

Suy ra

O B ⊥ O A

Xét

Δ A O B

và

Δ M B O

(các tam giác vuông) ta có:

\hat{A O B} = \hat{O B M} = 90^{\circ}

A O = M B

(cmt)

O B = A M

(cmt)

Suy ra

Δ A O B = Δ M B O

(c-g-c)

Suy ra

O M = A B

O M = A B

(cmt)

Mà

E M = E O = \frac{1}{2} O M

;

E A = E B = \frac{1}{2} A B

Suy ra

E O = E A = E M = E B

(1)

Xét

Δ A B C

cân ta có:

\hat{A B C} = \hat{A C B}

và

A B = A C

Mà

E A = E B = \frac{1}{2} A B

;

F A = F C = \frac{1}{2} A C

(gt)

Suy ra

A E = E B = F A = F M

(2)

Xét

Δ B E M

và

Δ C M F

ta có:

B E = C F

(cmt)

\hat{A B C} = \hat{A C B}

(cmt)

B M = C M

(gt)

Suy ra

Δ B E M = Δ C F M

(c-g-c)

Suy ra

E M = F M

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra

A E = A F = F M = M E

Suy ra

A E M F

là hình thoi