Giải bài 8 trang 94 vở thực hành Toán 9 tập 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M và N (M khác A và B, N khác A và C). Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường tròn (O) tại một điểm S khác A. Chứng minh rằng (frac{{SM}}{{SB}} = frac{{SN}}{{SC}}).

Đề bài

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh $\hat{S M A} = \hat{S N A}$ , từ đó chứng minh được $\hat{S M B} = \hat{S N C}$ .

+ Chứng minh $Δ S M B ∽ Δ S N C (g . g)$ , suy ra $\frac{S M}{S N} = \frac{S B}{S C}$ , hay $\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S C}$ .

Lời giải chi tiết

Vì $\hat{S M A}$ và $\hat{S N A}$ là các góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và cùng chắn $\overset{⌢}{A S}$ nên $\hat{S M A} = \hat{S N A}$ . Từ đây suy ra $\hat{S M B} = 180^{o} - \hat{S M A} = 180^{o} - \hat{S N A} = \hat{S N C}$ . (1)

Xét tam giác SMB và tam giác SNC, ta có:

$\hat{S B M} = \hat{S C N}$ (hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn $\overset{⌢}{A S}$ ),

$\hat{S M B} = \hat{S N C}$ (chứng minh trên).

Vậy $Δ S M B ∽ Δ S N C (g . g)$ . Suy ra $\frac{S M}{S N} = \frac{S B}{S C}$ , hay $\frac{S M}{S B} = \frac{S N}{S C}$ .