Đề bài
Cho tam giác ABC có AB=2,AC=3,ˆBAC=60o. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điểm D thỏa mãn −−→AD=712−−→AC.
a) Tính −−→AB.−−→AC
b) Biểu diễn −−→AM,−−→BD theo −−→AB,−−→AC
c) Chứng minh AM⊥BD.
+) Tính −−→AB.−−→AC bằng công thức −−→AB.−−→AC=∣∣∣−−→AB∣∣∣.∣∣∣−−→AC∣∣∣.cos(−−→AB,−−→AC)=AB.AC.cosˆBAC
+) M là trung điểm BC ⇔−−→AB+−−→AC=2−−→AM với điểm A bất kì.
+) AM⊥BD⇔−−→AM.−−→BD=0
Lời giải chi tiết
a) −−→AB.−−→AC=2.3.cosˆBAC=6.cos60o=3
b)
Ta có: −−→AB+−−→AC=2−−→AM(do M là trung điểm của BC)
⇔−−→AM=12−−→AB+12−−→AC
+) −−→BD=−−→AD−−−→AB=712−−→AC−−−→AB
c) Ta có:
−−→AM.−−→BD=(12−−→AB+12−−→AC)(712−−→AC−−−→AB)=724−−→AB.−−→AC−12−−→AB2+724−−→AC2−12−−→AC.−−→AB=−12AB2+724AC2−524−−→AB.−−→AC=−12.22+724.32−524.3=0
⇒AM⊥BD
