Đề bài
Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
−−→AD.−−→BC+−−→BE.−−→CA+−−→CF.−−→AB=0(*)
Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để biến đổi vế trái đẳng thức (*)
Lời giải chi tiết
+ Do D là trung điểm BC nên −−→AD=12(−−→AB+−−→AC)
+ Do E là trung điểm AC nên −−→BE=12(−−→BA+−−→BC)
+ Do F là trung điểm AB nên −−→CF=12(−−→CA+−−→CB)
Ta có: −−→AD.−−→BC+−−→BE.−−→CA+−−→CF.−−→AB=12(−−→AB+−−→AC).−−→BC+12(−−→BA+−−→BC).−−→CA+12(−−→CA+−−→CB).−−→AB
=12(−−→AB.−−→BC+−−→AC.−−→BC+−−→BA.−−→CA+−−→BC.−−→CA+−−→CA.−−→AB+−−→CB.−−→AB)
=12(−−−→BA.−−→BC+−−→CA.−−→CB+−−→AB.−−→AC−−−→CB.−−→CA−−−→AC.−−→AB+−−→BC.−−→BA)=12.0=0 (ĐPCM)
