Giải bài 80 trang 38

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) $y=\left(x-2\right){\left(x+1\right)}^2$;     

b) $y=-\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2$;

c) $y=2x^3-3x^2+2x-1$; 

d) $y=-\frac{1}{4}\left(x^3-6x^2+12x\right)$.

Lời giải chi tiết

a) $y=\left(x-2\right){\left(x+1\right)}^2=x^3-3x-2$

1) Tập xác định: $R$.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{lim}y=-\infty$.

• Bảng biến thiên:

$y^{\prime }=3x^2-3$ và $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=1$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1;1\right)$; đồng biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-1\right)$ và $\left(1;+\infty \right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=1,y_{CT}=-4$; hàm số đạt cực đại tại $x=-1,y_{CĐ}=0$.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0;-2\right)$.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $\left(-2;-4\right),\left(-1;0\right),\left(0;-2\right),\left(1;-4\right),\left(2;0\right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y=\left(x-2\right){\left(x+1\right)}^2$ như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm $I\left(0;-2\right)$.

b) 1) Tập xác định: $R$.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{lim}y=+\infty$.

• Bảng biến thiên:

$y^{\prime }=-x^2-2x$ và $y^{\prime }=0\iff x=-2$ hoặc $x=0$.

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty ;-2\right)$ và $\left(0;+\infty \right)$; đồng biến trên khoảng $\left(-2;0\right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2,y_{CT}=\frac{2}{3}$; hàm số đạt cực đại tại $x=0,y_{CĐ}=2$.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0;2\right)$.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $\left(-3;2\right),\left(-2;\frac{2}{3}\right),\left(-1;\frac{4}{3}\right),\left(0;2\right),\left(1;\frac{2}{3}\right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2$ như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm $I\left(-1;\frac{4}{3}\right)$.

c) 1) Tập xác định: $R$.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{lim}y=-\infty$.

• Bảng biến thiên:

$y^{\prime }=6x^2-6x+2=6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}>0,\forall x\in R$.

Hàm số đồng biến trên $R$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $\left(0;-1\right)$.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $\left(-1;-8\right),\left(0;-1\right),\left(1;0\right),\left(2;7\right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y=2x^3-3x^2+2x-1$ như hình bên:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm $I\left(\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$.

d) $y=-\frac{1}{4}\left(x^3-6x^2+12x\right)=-\frac{1}{4}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-3x$

1) Tập xác định: $R$.

2) Sự biến thiên:

• Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{lim}y=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{lim}y=+\infty$.

• Bảng biến thiên:

$y^{\prime }=-\frac{3}{4}{x}^2+3x-3$ và $y^{\prime }=0\iff x=2$.

Hàm số nghịch biến trên $R$.

Hàm số không có cực trị.

3) Đồ thị

• Giao điểm của đồ thị với trục tung: $O\left(0;0\right)$.

• Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $\left(0;0\right),\left(1;-\frac{7}{4}\right),\left(2;-2\right),\left(3;-\frac{9}{4}\right),\left(4;-4\right)$.

Vậy đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3-x^2+2$ như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm $I\left(2;-2\right)$.