Giải bài 81 trang 108

Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn (−−→MA+−−→MB).(−−→MC+−−→MD)=0(MA→+MB→).(MC→+MD→)=0\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0. Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định

Đề bài

Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn $(\vec{M A} + \vec{M B}) . (\vec{M C} + \vec{M D}) = 0$ . Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng để tìm tập hợp các điểm M

Lời giải chi tiết

Theo giả thiết, $(\vec{M A} + \vec{M B}) . (\vec{M C} + \vec{M D}) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \vec{M A} + \vec{M B} = 0 \\ \vec{M C} + \vec{M D} = 0 \end{array}$

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD $\Rightarrow {\begin{cases} \vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M P} \\ \vec{M C} + \vec{M D} = 2 \vec{M Q} \end{cases}$

$\Rightarrow (\vec{M A} + \vec{M B}) . (\vec{M C} + \vec{M D}) = 0 \Leftrightarrow 2 \vec{M P} .2 \vec{M Q} = 0 \Leftrightarrow \vec{M P} . \vec{M Q} = 0$

+ Nếu M không trùng với P hoặc Q thì $\vec{M P} . \vec{M Q} = 0 \Leftrightarrow M P ⊥ M Q$

$\Rightarrow$ Tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính PQ

+ Nếu M trùng với P hoặc Q thì hiển nhiên M thuộc đường tròn đường kính PQ

Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính PQ cố định