Giải bài 82 trang 108

Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức ∣∣∣−−→MA+−−→MB+−−→MC∣∣∣|MA→+MB→+MC→|\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| đạt giá trị

Đề bài

Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức $| \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} |$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm điểm P sao cho $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$

Bước 2: Tách vectơ sao cho xuất hiện $\vec{M P}$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức rút gọn ở bước 2 và kết luận

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$

Ta có: $| \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} | = | \vec{M G} + \vec{G A} + \vec{M G} + \vec{G B} + \vec{M G} + \vec{G C} |$

$= | 3 \vec{M G} + (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) | = 3 | \vec{M G} |$ $\geq 3 H G$ (với H là hình chiếu của G trên d)

Vậy với M là hình chiếu của G trên đường thẳng d thì biểu thức $| \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} |$ đạt giá trị nhỏ nhất